Álgebra linear Exemplos

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Etapa 2.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Etapa 2.7

Some $0$ e $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Etapa 2.8

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 2.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 8$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Etapa 4

A equação tem uma fração indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Encontre o quadrante.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Etapa 5.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Etapa 5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Etapa 5.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$(0, 8)$

Etapa 5.5

Como a coordenada y é positiva e a coordenada x é $0$ , o ponto está localizado no eixo y, entre o primeiro e o quarto quadrantes. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo canto superior direito.

Entre o quadrante $1$ e $2$

Etapa 6

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 7

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

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Etapa 7.1

Combine ${(8)}^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{θ + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Etapa 7.2

Combine $c$ e $\frac{{(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Etapa 7.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Etapa 7.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Etapa 7.5

Remova os parênteses.

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Etapa 7.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Etapa 7.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Etapa 7.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k))}{4}$

Etapa 7.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Etapa 7.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k)}{4}$

Etapa 7.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Etapa 7.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Etapa 8

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{4})$

Etapa 8.2

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0 π}{4})$

Etapa 8.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

Etapa 9

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{4})$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

Etapa 10

Substitua $k = 2$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{4})$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

Etapa 11

Substitua $k = 3$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (3)}{4})$

Etapa 11.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$

Etapa 12

Liste as soluções.

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$